Почему Гарри Поттер в «Дарах Смерти» должен был погибнуть

В одной из сцен в фильме «Гарри Поттер и Дары Смерти» герои пробираются в подземелья волшебного банка Гринготтс, чтобы забрать из сейфа Лестрейнджей меч и чашу. В качестве одного из уровней защиты от грабителей на сокровища наложены заклятия Умножения и Пылающей руки. Все, до чего дотрагивается вор, раскаляется добела и множится. «Футурист» объясняет, как работает это заклинание с точки зрения математики и почему оно должно было убить Гарри за считанные секунды.

— Я обожглась! — простонала Гермиона, дуя на пальцы.
— Заклятия Умножения и Пылающей руки! — воскликнул Крюкохват. — Всё, до чего вы дотронетесь, будет обжигать вас и умножаться, но копии ничего не стоят, а если их станет слишком много, нас просто задавит тяжестью золота!

(с) Джоан Роулинг «Гарри Поттер и Дары Смерти»

Вот как эта сцена представлена в фильме.

Мы видим, что на каждый предмет приходится четыре копии. Таким образом, за один шаг действия заклинания предметов становится пять (если считать оригинал). Каждый из них также реплицируется, производя еще четыре своих копии. Однако разбогатеть таким образом невозможно: копии драгоценных кубков и блюд сами по себе ничего не стоят. Кроме того, объекты множатся с чудовищной скоростью и раскаляются: таким образом, грабитель либо поджарится, либо будет раздавлен тяжестью золота.

Давайте разберем, как именно это будет происходить.

Если пересмотреть сцену в Гринготтсе несколько раз и провести некоторые измерения, можно заметить следующее. Репликация объектов происходит один раз в 2,5 секунды. Примерно на 48 секунде умножение сокровищ приостанавливается на пять секунд и возобновляется. Сцена репликации длится около 93 секунд, при этом комната оказывается не до конца заполненной драгоценностями.

Вычислить объем каждого отдельного сокровища трудно в силу их многообразия, поэтому нам придется смоделировать некий стандарт. Предположим, что наша драгоценная утварь была переплавлена на сферы 6 см с массой 200 г. Теперь можно с чистой совестью приступать к математическому моделированию.

Числовая модель

Начнем с дискретной модели умножения. Попробуем выстроить последовательность событий с шагом в 2,5 секунды.

— Вот у нас 1 сокровище.

— 2,5 секунды ожидания.

— Теперь их 5.

— Еще 2,5 секунды ожидания.

— Каждая копия воспроизвела еще 4 своих копии. Таким образом, предметов стало 25.

— Через 2,5 секунды ожидания каждый объект вновь упятерился. Теперь на полу подземелья лежат 125 сокровищ, неотличимых друг от друга.

Принцип понятен: мы видим, что сокровищница растет по экспоненте («Футурист» уже объяснял, что это, в одной из своих статей). Точного числа циклов умножения мы не знаем, поэтому нам придется использовать переменную, чтобы вывести формулу репликации. Если принять n за количество умножений, а за итоговое количество предметов — N, мы получаем следующее выражение:

Так как умножение происходит каждые 2,5 секунды, я могу умножить число циклов (n) на 2,5, чтобы получить зависимость количества сокровищ от времени. Вот как выглядят наши рассуждения на графике (показать график — треугольник, поиграть с кодом — карандаш).

Всего за 10 секунд одно сокровище размножило 625 своих копий. Однако не стоит забывать, что по пути к заветным артефактам герои постоянно что-то опрокидывали, хватали и двигали — поэтому утвари стало в разы больше.

Математическая функция

Попробуем создать модель экспоненциального роста.

В этой формуле t — общее время длительности сцены с репликацией, т — период репликации (те самые 2,5 секунды, за которые сокровищ становится 5).

Если представить числовую модель и экспоненциальную функцию на одном рисунке, вы увидите, что они почти совпадают.

И когда же погибнут герои?

Не сомневайтесь, Гарри Поттер и его друзья всегда выходят сухими из воды! Однако представьте, что с ними было бы, если бы им не хватило нескольких секунд... Вопрос — скольких?

Давайте сформулируем вопрос по-другому: когда же комната должна заполниться утварью? Ответить на этот вопрос можно, зная объем комнаты и объем одной драгоценной посудины. К сожалению, Джоан Роулинг не приводила в книге чертежей банка Гринготтс со всеми измерениями, поэтому нам придется фантазировать. Предположим, высота зала равна 4 м, а его пол — квадрат 15×15 м. Объем такого помещения равен 900 м³. Теперь рассчитаем объем одного реплицируемого объекта (напомним, для нас это сферы радиусом 6 см): он будет равен приблизительно 9 x 10^-4 м³. Мы не будем брать в расчет пустоты между сферами (предположим, что они забьют комнату, как кубики — не оставляя в ней даже тонких воздушных прослоек), поэтому необходимый объем для пяти предметов превысит объем одного элемента всего лишь в 5 раз.

Теперь представим это в виде выражения (стартовое количество реплицируемых предметов — 1 шт.).

В этом выражении V₀ — объем одной посудины. Теперь попробуем написать формулу для нахождения времени, за которое сокровища заполнят зал от пола до потолка.

Подставив в это выражение известные нам значения, мы получим 21,5 секунды. Но как же так? Ведь сцена длилась 48 секунд, а они все еще живы! Что ж, спишем это на особенности режиссуры и психологические особенности восприятия героями времени в стрессовой ситуации...и еще немного поиграем с числами.

Подставив пресловутые 48 секунд в выражение, мы получим объем сокровищницы, равный 2.4 x 10¹⁰ м³. Страшно представить, сколько места в подземелье займет этот золотой Вавилон...

Допустим, эта сокровищница будет приумножаться в комнате, скажем, 104 м² без потолка. Интересно, какой высоты будет золотой столб через 48 секунд? Разделив объем сокровищницы на 104 м² , мы получим 2,4 х 106. Именно 2400 км или одна треть радиуса Земли. Это вам не Эльдорадо какой-нибудь!

А теперь домашнее задание:

За сколько времени объем сокровищницы станет равным объему Земли?
Оценить общую массу сокровищ через 48 секунд (напомним, одно сокровище весит примерно 250 г).
Если клад расширяется в комнате 100 × 100 м (без потолка), через сколько времени сокровища на дне начнут крошиться?
Рассмотрим энергетическую эквивалентность массы. За сколько времени можно сделать эту кучу золота равной Солнцу по выходной мощности?

Оригинал статьи